Основы работы с системой MathCAD 7.0


11.18. Функции прямого и обратного преобразований Фурье


К фундаментальным положениям математики относится возможность представления периодических (а при определенных условиях и непериодических) функций совокупностью их гармонических составляющих в виде так называемого ряда Фурье [14]. Эта возможность используется во множестве прикладных сфер применения. Достаточно отметить, что на ее основе реализуется передача через каналы связи практически любой информации, например речи или музыки.

Прямое преобразование Фурье

Если некоторая временная функция f(t) задана рядом отсчетов, переход от нее к параметрам ряда Фурье (амплитудам и фазам гармоник) называется прямым преобразованием Фурье, а обратный переход — обратным преобразованием Фурье. К сожалению, эти переходы связаны с вычислениями интегралов, подынтегральные функции которых быстро осциллируют (т. е. приобретают колебательный характер), что существенно затрудняет вычисление таких интегралов с заданной точностью и ведет к значительным затратам времени.

Поэтому были разработаны специальные методы быстрого преобразования Фурье — БПФ (Fast Fourier Transform). К сожалению, сложность этого процесса не позволяет детально описать эти методы в настоящей книге. Отослав читателя к специальной литературе [10, 14], займемся описанием функций, реализующих прямое и обратное БПФ в системе MathCAD. Они предоставляют возможность проводить указанные преобразования для данных в виде векторов с действительными и комплексными числами.

Функция fft(V) выполняет прямое БПФ для данных, представленных действительными числами — значениями исходного вектора V. Однако при этом вектор V должен иметь 2" составляющих, где п — целое число. Если число составляющих иное, функция отказывается от быстрого преобразования и вычисляет прямое преобразование Фурье гораздо медленнее.

Функция cfft(A)

аналогична предыдущей, но реализует прямое преобразование Фурье для вектора А с комплексными элементами. Если А — матрица, реализуется двумерное преобразование. Введение функции fft(V) обусловлено тем, что преобразование для векторов с действительными элементами реализуется по более быстрому алгоритму (БПФ) и занимает меньше времени (при числе отсчетов, соответствующем 2", где п — целое число). В этом случае более прост и ввод исходных данных.




Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин